Question

已知f（x）=2x³-6x²+a（a為常數）在[-2，2]上有最大值3，那么此函數在[-2，2]上的值域是（　�。�

A．[-37，3]

B．[-29，3]

C．[-5，3]

D．以上都不對

Answer 1

分析：先求導數，根據單調性研究函數的極值點，在開區間（-2，2）上只有一極大值則就是最大值，從而求出a，通過比較兩個端點-2和2的函數值的大小從而確定出最小值，得到結論．

解答：解：由已知，f′（x）=6x²-12x，由6x²-12x≥0得x≥2或x≤0，
因此當x∈[2，+∞），（-∞，0]時f（x）為增函數，在x∈[0，2]時f（x）為減函數，
又因為x∈[-2，2]，
所以得，當x∈[-2，0]時f（x）為增函數，
在x∈[0，2]時f（x）為減函數，
所以f（x）_max=f（0）=a=3，故有f（x）=2x³-6x²+3
所以f（-2）=-37，f（2）=-5
因為f（-2）=-37＜f（2）=-5，所以函數f（x）的最小值為f（-2）=-37．
從而值域為[-37，3]
故選A

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，屬于基礎