Question

用平行于空間四邊形ABCD一組對邊AC和BD的平面截此空間四邊形得一四邊形MNPQ,如圖所示.

(1)四邊形MNPQ是平行四邊形嗎?

(2)若AC=BD,能截得菱形嗎?如果能,那么如何截?

(3)在什么情況下,可以截得一個矩形?

(4)在什么條件下,能截得一個正方形?如果能,該怎樣截?(注:只需給出滿足條件的一種情形即可)

(5)若AC=BD=a,求證:四邊形MNPQ的周長為定值.

Answer 1

解析:(1)利用線面平行的性質定理及平行公理可得四邊形MNPQ是平行四邊形.

(2)由(1)的結論及截法知,是否能截得菱形取決于截點Q在AD上的位置,于是不妨設AQ∶QD=m∶n,并設AC=BD =a,MQ=x,PQ=y.

    又由(1)知,PQ∶AC=DQ∶DA=n∶(m-n).

∴y=PQ=nam+n,同理,x=MQ=.

    當m=n時,PQ=MQ,即Q平分AD時,四邊形MNPQ為菱形.

(3)當MNPQ為矩形時,即PQ⊥MQ,∴AC⊥BD.

    即當AC⊥BD時,可截得一個矩形.

(4)綜合(2)與(3)可知,當AC=BD,且AC⊥BD,Q平分AD時,四邊形MNPQ為正方形.

(5)同(2)知,MQ+PQ==a.

∴四邊形MNPQ的周長為定值2a.