Question

【題目】已知球內接正四棱錐的高為相交于，球的表面積為，若為中點.

(1)求異面直線和所成角的余弦值；

(2)求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：(1) 由球的表面積求出球的半徑R，設球心為，則必在上，連，根據球的性質有，求解易得底面邊長以及側棱長，則結論易得；(2)證明平面，則到平面的距離等于到平面的距離，由，則結論易得.

試題解析：由球的表面積公式，得球的半徑，

設球心為，在正四棱錐中，高為，則必在上，

連，則，

則在，有，即，可得正方形的邊長為,

側棱.

(1)在正方形中， ，所以是異面直線和所成的角或其補角，

取中點，在等腰中，可得，斜高，

則在中， ，

所以異面直線和所成的角的余弦值為；

(2)由為中點，得，

且滿足平面平面，所以平面，

所以到平面的距離等于到平面的距離，

又因為,

再設到平面的距離為，則由，

可得，則，

所以點到平面的距離.