Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的動直線L交橢圓C于A．B兩點．問：是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T ? 若存在，求點T坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由

因直線相切，

，∴，………………2分

∵圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角

       形，∴                                     ………………4分

       故所求橢圓方程為                            ………………5分

    （Ⅱ）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

當L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：

由

即兩圓公共點（0， 1）

因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）               ………………7分

       （ⅰ）當直線L斜率不存在時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）

       （ⅱ）若直線L斜率存在時，可設直線L：

由

       記點．           ………………9分

      

        

                  

       ∴TA⊥TB,                                             ………………11分

綜合（ⅰ）（ⅱ），以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）．           ……………12分

 

【解析】略