Question

【題目】如圖，在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD，現計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F，為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF，設∠EPA=α（0＜α＜ ）．

（1）為減少對周邊區域的影響，試確定E，F的位置，使△PAE與△PFB的面積之和最小；
（2）為節省建設成本，試確定E，F的位置，使PE+PF的值最小．

Answer 1

【答案】
（1）在Rt△PAE中，由題意可知∠APE=α，AP=8，則AE=8tanα．

所以S△APE= PA×AE=32tanα．

同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，PB=1，則BF=

所以S△PBF= PB×BF= ．

故△PAE與△PFB的面積之和為32tanα+

32tanα+ ≥2 =8

當且僅當32tanα= ，即tanα= 時取等號，

故當AE=1km，BF=8km時，△PAE與△PFB的面積之和最小

（2）在Rt△PAE中，由題意可知∠APE=α，則PE=

同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，則PF=

令f（α）=PE+PF= + ，0＜α＜

則f′（α）= =

f′（α）=0得tanα=

所以tanα= ，f（α）取得最小值，

此時AE=APtanα=8× =4，BF=

當AE為4km，且BF為2km時，PE+PF的值最小

【解析】（1）借助三角函數求出△PAE與△PFB的面積，利用基本不等式性質，求出E，F的位置；（2）借助三角函數求出PE+PF，利用導數求出當AE為4km，且BF為2km時，PE+PF的值最小．