Question

【題目】已知函數，函數，其中是自然對數的底數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）設函數()，討論的單調性；

（3）若對任意，恒有關于的不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案見解析.（3）

【解析】

（1）由函數，求導得到， 再求得，，寫出切線方程.

（2）易得，由在上恒成立，根據，分，討論求解.

（3）根據對任意，恒有關于的不等式成立，轉化為，對任意恒成立，設(，用導數法求其最小值即可.

（1）因為

所以，

所以.

因為，

所以，

即所求曲線在點處的切線方程為.

（2）易知，函數的定義域為，，

且有

.

因為在上恒成立，

所以①當時，在上恒成立，此時，

所以，在區間上單調遞增.

②當時，由，即，解得；

由，即，解得.

所以，在區間上單調遞減；

在區間上單調遞增.

（3）因為對任意，恒有關于的不等式成立，

所以 ，對任意恒成立，

設().

易得，.

令，，

所以.

顯然，當時，恒成立.

所以函數在上單調遞減，所以，

即在恒成立.

所以，函數在單調遞減.

所以有，

所以.

故所求實數的取值范圍是.