Question

某聯歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品．
（1）張三選擇方案甲抽獎，李四選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，若X≤3的概率為，求；
（2）若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數學期望較大？

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A，依題意，兩人累計得分的可能值為，故事件“”的對立事件為“”，所以所求事件的概率；（2）因為每次抽獎中獎與否互不影響，且對方案甲或方案乙而言，中獎的概率不變，故對于張三、李四兩人抽獎可看成兩次獨立重復試驗，其中獎次數服從二項分布，設張三、李四都選擇方案甲抽獎中獎次數為X₁，都選擇方案乙抽獎中獎次數為X₂，則X₁～，X₂～B，則累計得分的期望為E(2X₁)，E(3X₂)，從而比較大小即可.
（1）由已知得，張三中獎的概率為，李四中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響．
記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A，則事件A的對立事件為“X＝5”，
因為×，所以＝1－×=，所以 .  6分
（2）設張三、李四都選擇方案甲抽獎中獎次數為X₁，都選擇方案乙抽獎中獎次數為X₂，
則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數學期望為E(2X₁)，
選擇方案乙抽獎累計得分的數學期望為E(3X₂)．
由已知可得，X₁～，X₂～B，
所以E(X₁)＝2×＝，E(X₂)＝2×，
從而E(2X₁)＝2E(X₁)＝，E(3X₂)＝3E(X₂)＝6.
若，即，所以；
若，即，所以；
若，即，所以．
綜上所述：當時，他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望較大；當時，他們都選擇方案乙進行抽獎時，累計得分的數學期望較大；當時，他們都選擇方案甲或乙進行抽獎時，累計得分的數學期望相等.  12分
考點：1、對立事件；2、二項分布的期望.