Question

某地位于沙漠邊緣地區(qū)，人與自然進行長期頑強的斗爭，到2001年底全地區(qū)的綠化率已達到30%，從2002年開始，每年將出現(xiàn)下列變化：原沙漠面積的16%將栽上樹改造為綠洲，原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬��?br />（1）設(shè)全地區(qū)面積為1，2001年底綠洲面積為a₁=

3

10

，經(jīng)過一年綠洲面積為a₂，經(jīng)過n年綠洲面積為a_n+1，寫出a_n與a_n+1的關(guān)系式并求證數(shù)列{a_n-

4

5

}是等比數(shù)列；
（2）問經(jīng)過努力到哪一年才能使全縣的綠洲面積超過60%．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意利用今年的綠化面積表示出明年的綠化面積是解決本題的關(guān)鍵，弄清楚今年的綠化面積與明年綠化面積之間的關(guān)系，將文字語言表示為數(shù)學語言，根據(jù)等比數(shù)列的定義可證得數(shù)列{a_n-

4

5

}是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）中得出該數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵，利用指數(shù)式和對數(shù)式之間的關(guān)系確定出合題意的年份．

解答：解：（1）證明：由已知可得a_n確定后，a_n+1表示如下：a_n+1=a_n•（1-4%）+（1-a_n）•16%
即a_n+1=80%a_n+16%=

4

5

a_n+

4

25

由a_n+1=

4

5

a_n+

4

25

可得：a_n+1-

4

5

=

4

5

（a_n-

4

5

）
即

an+1- 4 5

an- 4 5

=

4

5

，a₁-

4

5

=-

1

2

∴數(shù)列{a_n-

4

5

}是以-

1

2

為首項，公比為

4

5

的等比數(shù)列
（2）由（1）得a_n-

4

5

=（-

1

2

）×（

4

5

）^n-1，即a_n=（-

1

2

）×（

4

5

）^n-1+

4

5

則a_n+1=（-

1

2

）×（

4

5

）ⁿ+

4

5

≥

3

5

即

1

2

≥（

4

5

）^n-1
兩邊同時取對數(shù)可得-lg2≥（n-1）（2lg2-lg5）=（n-1）（3lg2-1）
故n≥

lg2

1-3lg2

+1＞4，故使得上式成立的最小n∈N^*為5，
答：最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%．

點評：本題考查數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，考查探索數(shù)列遞推關(guān)系的數(shù)學模型意識，關(guān)鍵要將題目中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，考查學生根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系確定通項公式的方法，考查學生對數(shù)的運算、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法．