Question

（2008•佛山一模）觀察下列三角形數表
1-----------------------------第一行
2    2------------------------第二行
3    4    3-------------------第三行
4    7    7   4---------------第四行
5    11  14  11   5-----------第五行
  …
假設第n行的第二個數為a_n（n≥2，n∈N^*），
（Ⅰ）依次寫出第六行的所有6個數字；
（Ⅱ）歸納出a_n+1與a_n的關系式并求出a_n的通項公式；
（Ⅲ）設a_nb_n=1，求證：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析：（I）根據三角形數表，兩側數為從1開始的自然數列，中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和的規律寫出來．
（II）依據“中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和”則第二個數等于上一行第一個數與第二個數的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由a_nb_n=1，解得數列的通項，利用裂項法求和，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：第六行的所有6個數字分別是6，16，25，25，16，6；--------------（2分）
（Ⅱ）解：依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2-------------------------------（5分）
a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）------------------------（7分）
=2+2+3+…+(n-1)=2+

(n-2)(n+1)

2

，
所以an=

1

2

n2-

1

2

n+1   (n≥2)；-------------------------------------（9分）
（Ⅲ）證明：因為a_nb_n=1，所以bn=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2(

1

n-1

-

1

n

)-------------（11分）
b2+b3+b4+…+bn＜2[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=2(1-

1

n

)＜2---（14分）

點評：本題通過三角數表構造了一系列數列，考查了數列的通項及求和的方法，考查裂項法的運用，屬于中檔題．