Question

如圖1，在直角梯形中, ,
把△沿對角線折起后如圖2所示(點記為點), 點在平面上的正投影 落在線段上, 連接.
(1) 求直線與平面所成的角的大小;
(2)   求二面角的大小的余弦值.

圖1                            圖2

Answer 1

（1）（2）

(1) 解:在圖4中,
∵     
∴, , .
∵,
∴△為等邊三角形.                            
∴.            …2分
在圖5中,
∵點為點在平面上的正投影,
∴平面.
∵平面,
∴.
∵,                                              
∴.
∵平面, 平面,
∴平面.
∴為直線與平面所成的角.   …4分
在Rt△中, ,
∴.   
∵,
∴.
∴直線與平面所成的角為.       …6分           
(2) 解:取的中點, 連接,.
∵ ,
∴ .
∵平面,平面,
∴.
∵平面, 平面,
∴平面.
∵平面,
∴.
∴為二面角的平面角.                                …8分
在Rt△中,,
∴,.
在Rt△中,.
在Rt△中，.
∴二面角的大小的余弦值為.                              …12分
方法二:
解:在圖4中,
∵
    
∴, , .
∵,
∴△為等邊三角形.                            
∴.            …2分
在圖5中,
∵點為點在平面上的射影,                            圖4

∴平面.
∵平面,
∴.
∵,                                              
∴.
∵平面, 平面,
∴平面.                         …4分
連接,
在Rt△和Rt△中,,
∴Rt△Rt△.
∴.
∴.
∴.
在Rt△中，.
∴.
在Rt△中，.                            …6分
以點為原點,所在直線為軸,與平行的直線為軸,所在直線為軸,建立空  
間直角坐標系,則,,,,
.
∴,,,.    
(1)∵,
∴.
∴直線與平面所成的角為.                                   …9分           
(2) 設平面的法向量為n,
由  得
令, 得,.
∴n為平面的一個法向量.                           
∵為平面的一個法向量,
∴.
∵二面角的平面角為銳角,
∴二面角的平面角的余弦值為.           …12分