Question

21、已知函數f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減；
（1）求a的值；
（2）是否存在實數b，使得函數g（x）=bx²-1的圖象與函數f（x）的圖象恰有2個交點，若存在，求出實數b的值；若不存在，試說明理由．
（3）若對任意實數m∈[-6，-2]，不等式f（x）≤mx³+2x²-n，在x∈[-1，1]上恒成立，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減，可得f（1）為極大值，故f′（1）=0，
求出a的值．
（2）由f（x）=g（x）可得 x²（x²-4x+4-b）=0，方程x²-4x+4-b=0有兩個非零等根或有一根為0，另一個不為0，
由△=16-4（4-b）=0，或4-b=0 求得b值．
（3）由題意得，F（x）=x⁴-（4+m）x³+2x²+n-1≤0恒成立，故F（x）在x∈[-1，1]上的最大值小于或等于0．
由F（x）在（0，1]上 的最大值F（1）≤0 恒成立得  n≤-4，由F（x）在[-1，0]上的最大值F（0）≤0 得
 n≤1，綜合得n≤-4．

解答：解：（1）∵f（x）在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減，
∴f′（1）=0，f′（1）=4x³-12x²+2ax|_x=1=2a-8=0，∴a=4；
（2）由（1）知f（x）=x⁴-4x³+4x²-1，由f（x）=g（x）可得x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1
即x²（x²-4x+4-b）=0．∵f（x）的圖象與g（x）的圖象只有兩個交點，
∴方程x²-4x+4-b=0有兩個非零等根或有一根為0，另一個不為0，
∴△=16-4（4-b）=0，或4-b=0，∴b=0或b=4．
（3）由  x⁴-4x³+4x²-1≤mx³+2x²-n 恒成立，可得 x⁴-（4+m）x³+2x²+n-1≤0恒成立．
設F（x）=x⁴-（4+m）x³+2x²+n-1，則F（x）≤0恒成立，故F（x）的最大值小于或等于0．
F′（x）=4x³-3（4+m）x²+4x=x[4x²-3（4+m）x+4]，
∵-6≤m≤-2，∴-2≤4+m≤2，∴判別式△=9（4+m）²-64＜0，
4x²-3（4+m）x+4＞0恒成立，由F′（x）＞0，得 x＞0，∴F（x）在（0，1]上是增函數，
故F（x）的最大值F（1）≤0，∴n≤m+2，∴n≤-6+2=-4，即  n≤-4．
由F′（x）＜0，得 x＜0，故 F（x）在[-1，0]上是減函數，故F（x）的最大值F（0）≤0，
即n-1≤0，n≤1．
綜上，要使 x⁴-（4+m）x³+2x²+n-1≤0恒成立，必須n≤-4．實數n的取值范圍是（-∞，-4]．

點評：本題考查利用導數求函數的單調性，函數的恒成立問題，利用導數求函數在閉區間上的最值，求 F（x）在[-1，1]上的最大值是解題的難點和關鍵．