Question

【題目】已知函數f（x）=sin2x+2 sin（x+ ）cos（x﹣ ）﹣cos2x﹣ ．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）求函數f（x）在[﹣ ， π]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=sin2x+2 sin（x+ ）cos（x﹣ ）﹣cos2x﹣

=﹣cos2x+2 （ sinx+ cosx）（ cosx+ sinx）﹣ =﹣cos2x+2 （ + sin2x）﹣

= sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣ ），

令2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得kπ+ ≤x≤kπ ，可得函數的減區間為[kπ+ ，kπ ]，k∈Z

（2）解：在[﹣ ， π]上，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，故當2x﹣ = 時，函數f（x）取得最大值為2
【解析】（1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的單調性求得函數的減區間．（2）利用正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）在[﹣ ， π]上的最大值．
【考點精析】本題主要考查了正弦函數的單調性和三角函數的最值的相關知識點，需要掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．