Question

某民營(yíng)企業(yè)從事M國(guó)某品牌運(yùn)動(dòng)鞋的加工業(yè)務(wù)，按照國(guó)際慣例以美元結(jié)算．依據(jù)以往的加工生產(chǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，若加工訂單的金額為x萬(wàn)美元，可獲得的加工費(fèi)的近似值為萬(wàn)美元．2011年以來(lái)，受美聯(lián)儲(chǔ)貨幣政策的影響，美元持續(xù)貶值．由于從生產(chǎn)訂單簽約到成品交付要經(jīng)歷一段時(shí)間，收益將因美元貶值而損失mx美元（其中m是該時(shí)段的美元貶值指數(shù)，且0＜m＜1），從而實(shí)際所得的加工費(fèi)為萬(wàn)美元．
（1）若某時(shí)段的美元貶值指數(shù)，為了確保企業(yè)實(shí)際所得加工費(fèi)隨x的增加而增加，該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)？
（2）若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬(wàn)美元時(shí)共需要的生產(chǎn)成本為萬(wàn)美元．已知該企業(yè)的生產(chǎn)能力為x∈[10，20]，試問(wèn)美元貶值指數(shù)m在何范圍內(nèi)時(shí)，該企業(yè)加工生產(chǎn)不會(huì)出現(xiàn)虧損？（已知）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)知，，可得函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)大于0，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損，則當(dāng)x∈[10，20]時(shí)，都有，即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，求出左邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小值，即可確定貶值指數(shù)m的范圍．
解答：解：（1）由已知，，∴
∴
由f'（x）＞0⇒199-2x＞0，解得0＜x＜99.5
即加工產(chǎn)品訂單金額x∈（0，99.5）（單位：萬(wàn)美元），該企業(yè)的加工費(fèi)隨x的增加而增加．
（2）依題意，設(shè)企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損，則當(dāng)x∈[10，20]時(shí)，都有，
即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，
設(shè)g（x）=10ln（2x+1）-（20m+1）x，則
令g（x）=0，則
∵
∴g（x）在[10，20]上是減函數(shù)
所以，g（x）_min=g（20）=10ln41-20（20m+1）≥0，∴m≤，又m＞0，
所以，m∈（0，]時(shí)，該企業(yè)加工生產(chǎn)不會(huì)虧損．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損，轉(zhuǎn)化為不等式，再借助于函數(shù)的最值進(jìn)行研究．