Question

【題目】已知函數，為的導數.

(1)討論函數的零點個數；

(2)若函數的定義域內不單調且在上單調遞減，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】試題分析：

(1)原問題等價于函數和圖象的交點的個數，分類討論可得：時，無零點；或時，有一個零點；時，有兩個零點.

(2)結合(1)的結論，利用導函數列表分類討論函數的單調性可得實數的取值范圍是.

試題解析：

(1)，

令得即，所以函數的零點個數等價于兩函數和圖象的交點的個數，

設兩者相切時切點為，則由且，

得.

由圖可知時，兩函數圖象無交點，無零點；

<>或時，兩函數圖象有一個交點，有一個零點；

時，兩函數圖象有兩個交點，有兩個零點.

解法二：，

令得即，所以，所以函數的零點個數等價于兩函數與的交點個數.

因為，

所以時，，遞增；時，，遞減且，

時，有極大值，

如圖所示，由圖可知，兩函數圖象無交點，無零點；

或時，兩函數圖象有一個交點，有一個零點；

時，兩函數圖象有兩個交點，有兩個零點.

解法三：直接由的導函數判斷原函數的單調性及零點，因為函數取正值或負值時的特殊值不易找，請謹慎處理，如果僅僅交代單調性而不說明零點存在定理的條件(即)中的的、或者只用限說明的，要酌情扣分。

(2)解法1：由(1)知時，無零點或一個零點，，函數在定義域內單調遞減，函數在定義域內不單調時，.

在上單調遞減時，，即，亦等價于時，，

.

①當時，，遞增，不合題意；

②當時，，此時，遞減，

時，，由得，解得，

所以；

③當時，，時，由表可知時，取最大值，最大值為，不合題意.

	正	0	負
	增	極大值	減

綜上可知.

解法二：由(1)知時，無零點或一個零點，，函數在定義域內單調遞減，函數在定義域內不單調時，.

在上單調遞減時，，即恒成立；

由得，令，則恒成立，

因為，所以時，單調遞減，

，由恒成立得，解得.

綜上可得.