Question

大氣、土壤水、海洋等物質在地球表面隨著時間的變化而變化，這些物質對地殼壓力負荷的變化會引起地殼的變形，在垂直方向尤為明顯，根據上海某感測站的觀測結果，該地的大氣壓力負荷、土壤水負荷、以及海底壓力負荷引起的地殼垂向位移變化分別依次如圖所示．
（1）根據圖象分別求出上海觀測站垂向位移h（單位：mm）與時間t（單位：月）在大氣影響下，在土壤水影響下，在海底壓力影響下的近似三角函數表達式．
（2）上述三種因素共同影響下的上海觀測站垂向位移h（單位：mm）與時間t（單位：月）之間近似的滿足函數關系式：h（t）=Asin（

π

6

t+φ），求A和tanφ．

Answer 1

分析：（1）先求得函數的周期，再將特殊點代入即可；（2）先假設h（t）=Asin（

π

6

t+φ）=-5cos

π

6

t+2.5sin(

π

6

t+

π

6

)+1.25sin(

π

6

t )，再取t=0，3組成方程組求解．

解答：解：（1）由圖象知：T=12，則ω=

π

6

，在大氣影響下，設表達式為h=5sin(

π

6

t+∅₁），將（6，5）代入，可知∅1=-

π

2

，故表達式為h=-5cos

π

6

t；
在土壤水影響下，設表達式為h=2.5sin(

π

6

t+∅2)，將（6，-1.25）代入，可知∅2=

π

6

，故表達式為h=2.5sin(

π

6

t+

π

6

)；
在海底壓力影響下．設表達式為h=1.25sin(

π

6

t+∅3)，將（3，1.25）代入，可知∅₃=0，故表達式為h=1.25sin(

π

6

t )；
（2）h（t）=Asin（

π

6

t+φ）=-5cos

π

6

t+2.5sin(

π

6

t+

π

6

)+1.25sin(

π

6

t )，
當t=0時，h（0）=-3.75，當t=3時，h（3）=-

5(1+ 3 )

4

，∴

Asin∅=-3.75 Acos∅= 5(1+ 3 ) 4

，∴A≈5.071，tan∅=-

3

1+ 3

≈-1.098

點評：本題主要考查三角函數模型的運用，正確理解各參數的意義是關鍵．