Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圓，求m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線x+2y-4=0相交于M，N兩點，且（其中O為坐標原點）求m的值；
（3）在（2）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）將x²+y²-2x-4y+m=0轉(zhuǎn)化為：（x-1）²+（y-2）²=5-m，由方程表示圓，則有5-m＞0．
（2）先將直線與圓方程的聯(lián)立，由相交于兩點，則有△=（-16）²-4×5×（8+m）＞0，又，得出x₁x₂+y₁y₂=0，由韋達定理求解．
（3）線段的中點為圓心，圓心到端點的距離為半徑，從而求得結(jié)論．
解答：解：（1）x²+y²-2x-4y+m=0即（x-1）²+（y-2）²=5-m（2分）
若此方程表示圓，則5-m＞0∴m＜5

（2）x=4-2y代入得5y²-16y+8+m=0
∵△=（-16）²-4×5×（8+m）＞0
∴，
∵得出：x₁x₂+y₁y₂=0而x₁x₂=（4-2y₁）•（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂
∴5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，∴滿足故的m值為．

（3）設(shè)圓心為（a，b），且O點為以MN為直徑的圓上的點
半徑圓的方程
點評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系其其方程的應(yīng)用，同時滲透了向量，是常考題型，屬中檔題．