Question

已知函數f（x）是定義域為R的偶函數，且f（x+1）=-f（x），若f（x）在[-1，0]上是減函數，那么f（x）在[1，3]上是（　　）

A．增函數

B．減函數

C．先增后減的函數

D．先減后增的函數

Answer 1

分析：先確定函數的周期為2，再判斷函數f（x）在[0，1]就是增函數，由此可得結論．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）
∴函數的周期是2
又函數f（x）在定義域R上是偶函數，在[-1，0]上是減函數，
∴函數f（x）在[0，1]就是增函數，
∴函數f（x）在[1，2]是減函數，在[2，3]是增函數
故f（x）在[1，3]上是先減后增的函數
故選D．

點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，考查函數的周期性，考查學生的探究能力，屬于中檔題．