Question

【題目】某校高一某班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞，但可見部分如下，據此解答如下問題：

（Ⅰ）求分數在[50，60）的頻率及全班人數；
（Ⅱ）求分數在[80，90）之間的頻數，并計算頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高；
（Ⅲ）若規定：75（包含75分）分以上為良好，90分（包含90分）以上為優秀，要從分數在良好以上的試卷中任取兩份分析學生失分情況，設在抽取的試卷中，分數為優秀的試卷份數為X，求X的概率分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得分數在[50，60）的頻率為0.008×10=0.08，
由莖葉圖得分類在[50，60）的人數為2人，
∴全班人數為： =25人．
（Ⅱ）由莖葉圖得分數在[80，90）之間的頻數為：
25﹣2﹣7﹣10﹣2=4人，
∵成績為[80，90）間的頻數為4，
∴頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高為： =0.016．
（Ⅲ）由已知得X的可能取值為0，1，2，
由莖葉圖知分數在良好以上有11人，其中分數為優秀有2人，
∴P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P

E（X）= =
【解析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出分數在[50，60）的頻率，由莖葉圖得分類在[50，60）的人數，由此能求出全班人數．（Ⅱ）由莖葉圖能求出分數在[80，90）之間的頻數，由此能求出頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高．（Ⅲ）由已知得X的可能取值為0，1，2，由莖葉圖知分數在良好以上有11人，其中分數為優秀有2人，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考點精析】掌握頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．