已知函數
（
為實常數）．
（1）若
，求函數
的單調區間；
（2）設在區間
上的最小值為
，求的表達式．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊
處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40千米的
處，乙廠到河岸的垂足
與相距50千米，兩廠要在此岸邊
之間合建一個供水站
，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3
元和5元，若
千米，設總的水管費用為
元，如圖所示，
（1）寫出關于
的函數表達式；
（2）問供水站建在岸邊何處才能使水管費用最省？ 
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設
是定義在
上的函數，且
，對任意
，若經過點
，
的直線與
軸的交點為
，則稱
為
關于函數的平均數，記為
，例如，當
時，可得
，即為的算術平均數.
當
時，為的幾何平均數；
當時，為的調和平均數
；
（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數即可）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某工廠生產一種產品的原材料費為每件40元，若用x表示該廠生產這種產品的總件數，則電力與機器保養等費用為每件0.05x元，又該廠職工工資固定支出12500元．
(1)把每件產品的成本費P(x)(元)表示成產品件數x的函數，并求每件產品的最低成本費；
(2)如果該廠生產的這種產品的數量x不超過3000件，且產品能全部銷售，根據市場調查：每件產品的銷售價Q(x)與產品件數x有如下關系：Q(x)＝170－0.05x，試問生產多少件產品時，總利潤最高？(總利潤＝總銷售額－總成本)
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設
(
是自然對數的底數，
)，且
．
（1）求實數
的值，并求函數
的單調區間；
（2）設
，對任意
，恒有
成立．求實數
的取值范圍；
（3）若正實數
滿足
，
，試證明：
；并進一步判斷：當正實數
滿足
，且
是互不相等的實數時，不等式
是否仍然成立．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為
，雨速沿E移動方向的分速度為
。E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與
×S成正比，比例系數為
；（2）其它面的淋雨量之和，其值為
，記
為E移動過程中的總淋雨量，當移動距離d=100，面積S=
時。
（1）寫出的表達式
（2）設0＜v≤10,0＜c≤5，試根據c的不同取值范圍，確定移動速度
，使總淋雨量最少。
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和
；
.
時，
，
，在
時，
；
時，
.
，即
時，此時
時，
；
，即
時，當
時，
；
，即
時，此時
時，
，此時
，函數
.
對任意
恒成立，求實數
的最值范圍；
，且函數
的定義域和值域均為
，求實數
都有|f(x)|≤1成立，試求a的取值范圍．