Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .

(1) 當x=2時，求證：BD⊥EG ；
(2) 若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；
(3) 當f(x)取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值.

Answer 1

（1）參考解析；（2）；－

試題分析：（1）通過建立空間直角坐標系.寫出相應的坐標，再寫出BD向量和EG向量.從而計算這兩向量的數量積.即可得兩直線垂直.本小題也可以通過轉化為線面垂直來證明.
（2）以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積是以三角形BFC為底面，三棱錐的高為x.由三棱錐體積可得f(x).在通過求二次函數的最值即可結論.
（3）由（2）可得x=2.求二面角關鍵是求出兩個平面的法向量.由于平面BFC的法向量可以是向量EA.另外平面DBF的法向量要通過法向量的計算方法可求得.再由兩法向量求出向量夾角的余弦值.再通過圖形的判斷二面角的大小來判斷是鈍角還是銳角在確定余弦值的正負.本小題也可以作出二面角的平面角.通過計算求得余弦值.
試題解析：（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標系E-xyz。                 1分
則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）    2分
（－2，2，2），（2，2，0）                   3分
（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴            4分

（法二）作DH⊥EF于H，連BH，GH，     1分
由平面平面知：DH⊥平面EBCF，
而EG平面EBCF，故EG⊥DH。
又四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，
BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，       3分
而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。       4分
（或者直接利用三垂線定理得出結果）

（2）∵AD∥面BFC，
所以 V_A-BFC＝＝4(4-x)x
                           7分
即時有最大值為.                      8分
（3）（法一）設平面DBF的法向量為，∵AE="2," B（2，0，0），D（0，2，2），
F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,            9分
則 ，
即，
取x＝3，則y＝2，z＝1，∴ 
面BCF的一個法向量為                   12分
則cos<>=                  14分
由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為－
（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，連DM。
由三垂線定理知BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補角。          9分
由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。
又DH＝2，
∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，
因∠DMH為銳角，∴cos∠DMH＝，             13分
而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補角，
故二面角D-BF-C的余弦值為－.