Question

已知中心在原點,對稱軸為坐標軸的橢圓與直線x+y=3相交于A、B兩點,C是AB的中點,若|AB|=2,O是坐標原點,OC的斜率為2,求橢圓的方程.

Answer 1

a>.

思路分析一:本題涉及弦長、弦的中點,可以將弦長公式與點差法綜合運用解決問題.
設橢圓方程為mx²+ny²=1(m>0,n>0),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₀,y₀),
則mx₁²+ny₁²=1,mx₂²+ny₂²=1.
兩式相減得m(x₁+x₂)(x₁-x₂)+n(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0.
∴k_AB=.
又∵k_OC==2,∴=2,即m=2n.
將y=3-x代入橢圓方程mx²+ny²=1,得(m+n)x²-6nx+9n-1=0.
由弦長公式得|AB|=
=.
將m=2n代入得n=,m=.
故所求橢圓方程為2x²+y²=9.