Question

【題目】如圖，某公園有三個警衛室、、有直道相連，千米，千米，千米.

（1）保安甲沿從警衛室出發行至點處，此時，求的直線距離；

（2）保安甲沿從警衛室出發前往警衛室，同時保安乙沿從警衛室出發前往警衛室，甲的速度為1千米/小時，乙的速度為2千米/小時，若甲乙兩人通過對講機聯系，對講機在公園內的最大通話距離不超過3千米，試問有多長時間兩人不能通話？（精確到0.01小時）

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)由解直角三角形可得∠C=30°，在△BPC中由余弦定理可得BP的值；（2）設甲出發

后的時間為t小時，則由題意可知0≤t≤4，設甲在線段CA上的位置為點M，則AM=4﹣t，討論0≤t≤1時，當1≤t≤4時，分別在△AMQ和△AMB中，運用余弦定理和二次不等式的解法，即可得到所求結論．

（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，

所以∠C=30°，

在△PBC中PC=1，BC=2，

由余弦定理可得

BP2=BC2+PC2﹣2BCPCcos30°

=（2）2+1﹣2×2×1×=7，

即BP=；

（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC=4，

設甲出發后的時間為t小時，則由題意可知0≤t≤4，

設甲在線段CA上的位置為點M，則AM=4﹣t，

①當0≤t≤1時，設乙在線段AB上的位置為點Q，則AQ=2t，

如圖所示，在△AMQ中，

由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣22t（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+16＞9，

解得t＜或t＞，

所以0≤t≤；

②當1≤t≤4時，乙在警衛室B處，在△ABM中，

由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣22t（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，

解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合題意舍去．

綜上所述0≤t≤時，甲乙間的距離大于3千米，

所以兩人不能通話的時間為小時．