Question

如圖所示，正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB和AA₁的中點.
求證：（1）E，C，D₁，F四點共面；
（2）CE，D₁F，DA三線共點.

Answer 1

證明略

（1）如圖所示，連接CD₁，EF，A₁B，

∵E、F分別是AB和AA₁的中點，
∴EF∥A₁B且EF=A₁B，
又∵A₁D₁   BC,
∴四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，∴A₁B∥CD₁，∴EF∥CD₁，
∴EF與CD₁確定一個平面，
∴E，F，C，D₁∈，
即E，C，D₁，F四點共面.
（2）由（1）知EF∥CD₁，且EF=CD₁，
∴四邊形CD₁FE是梯形，
∴CE與D₁F必相交，設交點為P，
則P∈CE平面ABCD，
且P∈D₁F平面A₁ADD₁，
∴P∈平面ABCD且P∈平面A₁ADD₁.
又平面ABCD∩平面A₁ADD₁=AD，
∴P∈AD，∴CE，D₁F，DA三線共點.