Question

在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點恰好是中點，又，，點在線段上，且．

（1）求證：；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

解析試題分析：(1)線線垂直是通過線面垂直證明，由已知，，從而平面，進而可證明；（2）要證明直線和平面平行，只需在平面內找一條直線與之平行即可，該題中通過計算得，從而說明，進而證明面；（3）二面角的求法：根據已知條件選三條兩兩垂直的直線，分別作為軸，建立空間直角坐標系，表示相關點的坐標，并求二面角兩個半平面的法向量，再求法向量的夾角，通過觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，決定二面角余弦值的正負，該題中，可選的方向為軸的正方向，而且面的法向量就是，故只需求面的法向量即可．
試題解析：(I) 因為是正三角形，是中點，所以,即，又因為，平面，，又，所以平面，
又平面，所以．
（Ⅱ）在正三角形中，， 在中，因為為中點，，所以
，所以，所以，在等腰直角三角形中，，，所以，，所以，又平面，平面，所以平面．

（Ⅲ）因為，所以，分別以為軸, 軸, 軸建立如圖的空間直角坐標系，所以
由（Ⅱ）可知，為平面的法向量 ，，
設平面的一個法向量為,則，即，令則平面的一個法向量為， 設二面角的大小為， 則