Question

已知橢圓的焦點坐標為F1(－1,0)，F2(1,0)，過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P，Q兩點，且|PQ|＝3.

(1)求橢圓的方程；

(2)過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，則△F1MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）＝1（2）最大值為π，且此時直線l的方程為x＝1.

【解析】(1)設橢圓方程為＝1(a>b>0)，

由焦點坐標可得c＝1.由|PQ|＝3，可得＝3.

又a2－b2＝1，得a＝2，b＝.故橢圓方程為＝1.

(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y1>0，y2<0，

設△F1MN的內切圓的半徑R，

則△F1MN的周長為4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R，

因此要使△F1MN內切圓的面積最大，則R最大，此時S△F1MN也最大．

S△F1MN＝F1F2||y1－y2|＝y1－y2，

由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x＝my＋1，

由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，

得y1＝，y2＝，

則S△F1MN＝y1－y2＝，令t＝，則t≥1，

則S△F1MN＝＝＝.令f(t)＝3t＋，則f′(t)＝3－，

當t≥1時，f′(t)>0，所以f(t)在[1，＋∞)上單調遞增，

有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤＝3，

當t＝1，m＝0時，S△F1MN＝3，又S△F1MN＝4R，∴Rmax＝

這時所求內切圓面積的最大值為π.

故△F1MN內切圓面積的最大值為π，且此時直線l的方程為x＝1.