Question

【題目】記 表示正整數 在十進制下的各位數碼之和.定義，證明：對任意的 ，存在無窮多個，，使得 .

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證明兩個引理．

引理1 設，有 .

引理1的證明 對任意，有.

設，.

反復利用式①得

.

引理2 對任意，存在， ，滿足，，.

引理2的證明 取 ，則，.

由三進制表示的唯一性，知當（可重集合）時， .

于是，的每一位上的數碼最大為2.故，.

類似于前面的討論，中的每一位上的數字最大為6.從而，.

引理1、2得證．

下面用反證法證明原題.

假設只有有限個正整數 滿足條件.則存在一個，使得當 時， .

設.則，，.

依次下去，知對任意，均有.

再取一個充分大的，使得 ，且 .

由引理2 ，知存在，滿足，，.

故由引理1知.

但，矛盾.

從而，對任意，存在無窮多個， ，使得.