【題目】已知橢圓
的左焦點為F，點
，過M的直線與橢圓E交于A，B兩點，線段AB中點為C，設橢圓E在A，B兩點處的切線相交于點P，O為坐標原點．
（1）證明：O、C、P三點共線；
（2）已知
是拋物線
的弦，所在直線過該拋物線的準線與y軸的交點，
是弦在兩端點處的切線的交點，小明同學猜想：在定直線上．你認為小明猜想合理嗎？若合理，請寫出所在直線方程；若不合理，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析； （2）合理，
在直線
上
【解析】
（1）設出直線
的方程，聯立橢圓方程，根據韋達定理，利用導數求得任一點處切線的斜率，從而解得切線方程
，得到點
的坐標，由
即可容易判斷；
（2）聯立
的方程和拋物線方程，利用導數求得
處的切線方程，結合已知條件，即可容易證明.
（1）設
，
，直線AB的方程為
．
聯立
，消去x整理得
，
由
﹐得
或
，
由橢圓對稱性，設
是橢圓
在x軸上方的任意一點，
則由
，
得
﹐
所以在
處的切線斜率為
，
故在處切線方程為
，
結合
化簡得
切線PA方程為：
，同理
，
聯立兩切線方程消去y得
，
聯立
解得
，
由AB中點
及
可得
，
、C、P三點共線．
（2）合理，在直線上．
證明如下：設
，
，
直線
斜率一定存在，
聯立
消去y得
，
，
由
得
，
．
拋物線在處的切線方程為
，
同理在處的切線方程為
聯立
解得，
故在直線上．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三（1）班在一次語文測試結束后，發現同學們在背誦內容方面失分較為嚴重.為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早、晚讀時間站起來大聲誦讀，為了解同學們對站起來大聲誦讀的態度，對全班50名同學進行調查，將調查結果進行整理后制成下表：
考試分數 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 | 5 |
贊成人數 | 4 | 6 | 9 | 3 | 6 | 4 |
（1）欲使測試優秀率為30%，則優秀分數線應定為多少分？
（2）依據第1問的結果及樣本數據研究是否贊成站起來大聲誦讀的態度與考試成績是否優秀的關系，列出2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為贊成與否的態度與成績是否優秀有關系.
參考公式及數據：
，
.
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具，即文房四寶.筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時期，其中“紙”指的是宣紙，“始于唐代，產于涇縣”，因唐代涇縣隸屬宣州管轄，故因地得名宣紙，宣紙按質量等級分類可分為正牌和副牌（優等品和合格品）某公司生產的宣紙為純手工制作，年產宣紙10000刀，該公司按照某種質量指標x給宣紙確定質量等級，如下表所示：
x的范圍 |
|
|
|
質量等級 | 正牌 | 副牌 | 廢品 |
公司在所生產的宣紙中隨機抽取了一刀（100張）進行檢驗，得到的頻率分布直方圖如上圖所示.已知每張正牌宣紙的利潤為12元，副牌宣紙的利潤為6元，廢品宣紙的利潤為-12元.
（1）試估計該公司生產宣紙的利潤；
（2）該公司預備購買一種售價為100萬元的機器改進生產工藝，這種機器使用壽命為一年，不影響產量，這種機器生產的宣紙的質量指標x服從正態分布
，改進工藝后正牌和副牌宣紙的利潤都將受到不同程度的影響，觀測的數據如下表所示：
x的范圍 |
|
| ||
一張宣紙的利潤 | 12 | 8 | 8 | 3 |
頻率 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 |
將頻率視為概率，請判斷該公司是否應該購買這種機器，并說明理由
附：若
，則
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
的參數方程為
（其中
為參數），以原點為極點，以
軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
（
為常數，且
），直線與曲線交于
兩點.
（1）若
，求實數的值；
（2）若點
的直角坐標為
，且
，求實數的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為進一步規范校園管理，強化飲食安全，提出了“遠離外賣，健康飲食”的口號．當然，也需要學校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學們的需求．在學期末，校學生會為了調研學生對本校食堂A部和B部的用餐滿意度，從在A部和B部都用過餐的學生中隨機抽取了200人，每人分別對其評分，滿分為100分．隨后整理評分數據，將分數分成6組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，第6組
，得到A部分數的頻率分布直方圖和B部分數的頻數分布表．
分數區間 | 頻數 |
| 7 |
| 18 |
| 21 |
| 24 |
| 70 |
| 60 |
定義：學生對食堂的“滿意度指數”
分數 |
|
|
|
|
|
|
滿意度指數 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
（1）求A部得分的中位數（精確到小數點后一位）；
（2）A部為進一步改善經營，從打分在80分以下的前四組中，采用分層抽樣的方法抽取8人進行座談，再從這8人中隨機抽取3人參與“端午節包粽子”實踐活動，在第3組抽到1人的情況下，第4組抽到2人的概率；
（3）如果根據調研結果評選學生放心餐廳，應該評選A部還是B部（將頻率視為概率）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線
的焦點為
，準線為
，
為過焦點且垂直于
軸的拋物線
的弦，已知以為直徑的圓經過點
.
（1）求
的值及該圓的方程；
（2）設
為上任意一點，過點作的切線，切點為
，證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況，在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本，測量樹苗高度(單位：cm)，經統計，其高度均在區間[19，31]內，將其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中高度為27cm及以上的樹苗為優質樹苗.
（1）求圖中a的值，并估計這批樹苗高度的中位數和平均數(同一組數據用該組區間的中點值作代表)；
（2）已知所抽取的這120棵樹苗來自于AB兩個試驗區，部分數據如下列聯表：將列聯表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為優質樹苗與A，B兩個試驗區有關系，并說明理由.
參考數據：
參考公式：
，其中
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