Question

如圖，已知兩個正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內，且平面ABCD ⊥平面DCEF，M，N分別為AB，DF的中點。

（1）求直線MN與平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求異面直線ME與BN所成角的余弦值。

Answer 1

（1）（2）

試題分析：(1)如圖，連接MD

∵平面ABCD ⊥平面DCEF  ①
ND⊥CD，ND平面DCEF   ②
CD=面ABCD面DCEF     ③
由①②③知ND⊥平面ABCD，
∴∠DMN即為MN 與面ABCD所成角，
設CD=a,則ND=,MN=，
∴.
(2)如圖，在CD的延長線上取點G，使DG=DC,再以DG為公共邊作正方形DGUA及DGVF,

H,K分別為GV,NH之中點，連接MK,EK.
∵NK∥CD,NK=CD,BM∥CD,BM=CD,
∴四邊形BMKN為平行四邊形,∴BN∥MK,
∴∠EMK即為異面直線BN與ME所成角,
設CD=a,則 ME=BN=,EK=,
由余弦定理得.
點評：點評：立體幾何問題，主要是考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解決此類問題時，要緊扣相應的判定定理和性質定理，要將定理中要求的條件一一列舉出來，缺一不可.