Question

已知雙曲線（a>0,b>0）的右準線一條漸近線交于兩點P、Q，F是雙曲線的右焦點。

（I）求證：PF⊥；

（II）若△PQF為等邊三角形，且直線y=x+b交雙曲線于A，B兩點，且，求雙曲線的方程；

（III）延長FP交雙曲線左準線和左支分別為點M、N，若M為PN的中點，求雙曲線的離心率e。

Answer 1

(1) 證明見解析

（2）雙曲線方程為

（3）e= 

解析:

(1) 不妨設.

, F.(c,0)

設

k₂= ∴k₁k₂=－1.

即PF⊥. 

（2）由題

.       x²－bx－b²=0,

∴a=1, ∴雙曲線方程為

（3）  y=－     M(－ 

   ∴N（－）.

又N在雙曲線上。∴

∴e=