Question

某單位一輛交通車載有8個職工從單位出發送他們下班回家，途中共有甲、乙、丙3個停車點，如果某停車點無人下車，那么該車在這個點就不停車．假設每個職工在每個停車點下車的可能性都是相等的，求下列事件的概率：
（1）該車在某停車點停車；
（2）停車的次數不少于2次；
（3）恰好停車2次．

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件共有共有3⁸=6561個，滿足條件的事件是該車在某停車點停車，情況比較多不好列舉，利用對立事件來考慮，根據等可能和對立事件的概率得到結果．
（2）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件共有共有3⁸=6561個，滿足條件的事件是停車的次數不少于2次，利用對立事件來考慮，即停車次數恰好是1次，得到結果．
（3）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件共有共有3⁸=6561個，滿足條件的事件是恰好停車2次，包括8名職工在其中2個停車點下車，每個停車點至少有1人下車，寫出結果．

解答：解：將8個職工每一種下車的情況作為1個基本事件，
那么共有3⁸=6561（個）基本事件．
（1）記“該車在某停車點停車”為事件A，
事件A發生說明在這個停車點有人下車，即至少有一人下車，
這個事件包含的基本事件較復雜，于是我們考慮它的對立事件

.

A

，
即“8個人都不在這個停車點下車，而在另外2個點中的任一個下車”．
∵P（

.

A

）=

28

38

=

256

6561

，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

256

6561

=

6305

6561

．
（2）記“停車的次數不少于2次”為事件B，
則“停車次數恰好1次”為事件

.

B

，
則P（B）=1-P（

.

B

）=1-

C 1 3

38

=1-

3

6561

=

2186

2187

．
（3）記“恰好停車2次”為事件C，
事件C發生就是8名職工在其中2個停車點下車，
每個停車點至少有1人下車，
所以該事件包含的基本事件數為C₃²（C₈¹+C₈²+C₈³++C₈⁷）=3×（2⁸-2）=3×254，
于是P（C）=

3×254

6561

=

254

2187

．

點評：本題考查等可能事件的概率，考查對立事件的概率，考查排列組合的實際應用，考查利用概率知識解決實際問題的能力，本題是一個綜合題目．