Question

（2013•德州二模）若對于定義在R上的函數f（x），存在常數t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0對任意實數x均成立，則稱f（x）是階回旋函數，則下面命題正確的是（　　）

• A．f（x）=2^x是-

  1

  2

  階回旋函數
• B．f（x）=sin（πx）是1階回旋函數
• C．f（x）=x²是1階回旋函數
• D．f（x）=log_ax是0階回旋函數

Answer 1

分析：直接利用f（x）是t階回旋函數的定義，逐個判斷即可得到結果．

解答：解：對于A，f（x）=2^x是-

1

2

階回旋函數，則2x-

1

2

+（-

1

2

）2^x=(

2

2

-

1

2

)2x不恒為0，所以A不正確．
對于B，f（x）=sin（πx）是1階回旋函數，故有：sinπ（x+1）+sinπx=-sinπx+sinπx=0，對任意實數x成立，所以f（x）=sin（πx）是1階回旋函數．
對于C，f（x）=x²是1階回旋函數，則（x+1）²+x²=0對任意實數都成立，這個方程無解故f（x）=x²不是1階回旋函數，該函數不是回旋函數．C不正確．
對于D，f（x）=log_ax是0階回旋函數，則log_a（x+0）+0log_ax=log_ax，不恒為0，所以D不正確．
故選B．

點評：本題是新定義題，關鍵是理解新定義，利用新定義時，應注意賦值法的運用．