Question

如圖，在正三棱錐中，底面邊長(zhǎng)是2，D是BC的中點(diǎn)，M在BB₁上，且.

(1)求證：;      
(2)求三棱錐的體積；
(3)求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）略；（2）；（3）

（1）證明：連接,交于點(diǎn)連接,則是的中位線，,又,.
（2）在正三棱錐中，的中點(diǎn)，則,從而AD⊥MC，又CM⊥AC₁，則CM和面ADC₁內(nèi)的兩條相交直線AD，AC₁都垂直，,于是,則與互余，則與互為倒數(shù)，易得,連B₁D,,,三棱錐的體積為.
（3）過(guò)D作DH⊥AC，垂足為H，過(guò)H在面內(nèi)作，垂足為G，易證是二面角的平面角，在中，,,在中，
方法2：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,,,,，， ，，，，設(shè)平面的法向量，則，
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（2），,，.平面的法向量為，點(diǎn)到平面的距離，.
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（3）由（2）知平面的法向量為，取的中點(diǎn)為,所以面的法向量為,設(shè)二面角的平面角為，則.