Question

【題目】已知函數f（x）=|2x﹣1|﹣x，
（1）用分段函數的形式表示該函數，并畫出該函數的圖象；
（2）寫出該函數的值域、單調區間（不要求證明）；
（3）若對任意x∈R，不等式|2x﹣1|≥a+x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=|2x﹣1|﹣x= ，

函數的圖象如下圖所示：

（2）解：由圖可得：函數的值域為：[﹣ ，+∞）；

單調減區間為：為：（﹣∞， ]，單調增區間為：[ ，+∞）

（3）解：若對任意x∈R，不等式|2x﹣1|≥a+x恒成立，

則a≤|2x﹣1|﹣x恒成立，

即a≤﹣

【解析】（1）利用零點分段法，可將函數解析式化為分段函數，進而結合一次函數的圖象和性質，得到函數的圖象；（2）數形結合，可得函數的值域、單調區間；（3）若對任意x∈R，不等式|2x﹣1|≥a+x恒成立，則a≤|2x﹣1|﹣x的最小值．