Question

【題目】已知函數(shù)，設(shè)．

（1）判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并給出證明；

（2）首項(xiàng)為的數(shù)列滿足：①；②．其中．求證：對(duì)于任意的，均有．

Answer 1

【答案】（1）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）先求得的定義域?yàn)?/span>再證明在上單調(diào)遞增，即可得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，即可證得結(jié)論.

試題解析：（1）由題意知，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此在上單調(diào)遞增，又，

故函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）由（1）可知在上單調(diào)遞增，且，

故當(dāng)時(shí)， ，即；

當(dāng)時(shí)， ，即．

因?yàn)楫?dāng)，所以，

若，則由，又在上單調(diào)遞減知，

即這與矛盾，故，

而當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，故；

同理可證，

故數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列且所有項(xiàng)均小于，

因此對(duì)于任意的，均有．