Question

【題目】如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．試用空間向量知識解下列問題：

（1）求證：平面ABB1A1⊥平面A1BD；
（2）求二面角A﹣A1D﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取BC中點O，連AO，∵△ABC為正三角形，

∴AO⊥BC，

∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

平面ABC⊥平面BCC1B1，

∴AD⊥平面BCC1B1，

取B1C1中點為O1，以O為原點，

， ， 的方向為x，y，z軸的正方向，

建立空間直角坐標系，

則 ．

∴ ，

∵ ， ．

∴ ， ，∴AB1⊥面A1BD．…（5分）

AA1面A1BD

所以 平面ABB1A1⊥面A1BD

（2）解：設平面A1AD的法向量為 ， ．

，∴ ，∴ ，

令z=1，得 為平面A1AD的一個法向量，

由（1）知AB1⊥面A1BD，

∴ 為平面A1AD的法向量， ，

∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值為 = ．

【解析】（1）取BC中點O，連AO，利用正三角形三線合一，及面面垂直的性質可得AO⊥平面BCB1C1 ， 取B1C1中點為O1 ， 以O為原點， ， ， 的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出AB1的方向向量，利用向量垂直的充要條件及線面垂直的判定定理可得AB1⊥平面A1BD，即可證明平面ABB1A1⊥平面A1BD；（2）分別求出平面A1AD的法向量和平面A1AD的一個法向量代入向量夾角公式，可得二面角A﹣A1D﹣B的余弦值大小．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．