Question

【題目】給出下列命題：

①，不等式恒成立；

②若，則；

③“若且，則”的逆否命題；

④若命題，命題，則命題是真命題．

其中，真命題為（ ）

A.①③④B.①②C.①②③D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

對于①中不等式可表示為得結論；對于②根據基本不等式的適用條件，結合與互為倒數，是同號的兩個數，可得，可得結論；對于③根據逆否命題與原命題同真同假，直接判斷原命題的真假即可，然后利用不等式的基本性質，可以證出原命題為真命題；對于④可以分別證出命題和命題都是真命題，從而得到題是假命題.

對于①，不等式整理，得原不等式等價于，

∵

∴原不等式恒成立，故①正確；

對于②，因為，兩個數互為倒數，

所以與同號，當時，

可得與都為正數，

根據基本不等式，有，

此時有且，

∴，故②正確；

對于③，命題“若且，則”的逆否命題與原命題同真同假，

因此判斷原命題的真假性即可，

若，兩邊都除以，得…()，

又因為，將()兩邊都乘以，得，

所以原命題是真命題，故③是真命題，正確；

對于④，∵對任意的均成立，

∴命題”是真命題，

∵存在，使得，

∴命題是真命題，

∴命題是假命題，

∵命題“”當中有一個真命題，另一個是假命題

∴“”是假命題，故④不正確，

綜上所述，真命題有三個：①②③，

故選：C.