Question

已知平面直角坐標系中，A（cosx，sinx），B（1，1），

OA

+

OB

=

OC

，f（x）=|

OC

|²．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和對稱中心；
（Ⅱ）求f（x）在區間[0，2π]上的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）利用數量積運算、兩角和的正弦公式、三角函數的圖象與性質即可得出．
（II）利用正弦函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題設知，

OA

=(cosx，sinx)，

OB

=(1，1)．
∴

OC

=

OA

+

OB

=(1+cosx，1+sinx)．
∴f（x）=|

OC

|2=(1+cosx)2+(1+sinx)2
=2sinx+2cosx+3=2

2

sin(x+

π

4

)
故最小正周期為2π．
對稱中心橫坐標滿足x+

π

4

=kπ（k∈Z），即x=kπ-

π

4

（k∈Z）．
對稱中心是(kπ-

π

4

，3)(k∈Z)．
（Ⅱ）當2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

π

2

時f（x）單增，
即2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z．
又x∈[0，2π]，故f（x）的遞增區間為[0，

π

4

]和[

5π

4

，2π]．

點評：熟練掌握數量積運算、兩角和的正弦公式、三角函數的圖象與性質是解題的關鍵．