Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|=2，點（1， ）在橢圓C上。

（1）求橢圓C的方程；

（2）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且△AF2B的面積為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程。

Answer 1

【答案】(1) (2) （x-1）2+y2=2

【解析】試題分析：（1）設橢圓的方程，根據定義求得的值，再根據的關系，求得的值，即可得到橢圓的方程；

(2)當直線軸時，求得，當直線不垂直軸時，設直線的方程為，聯立方程組得到和，利用弦長公式求得和點到直線的距離公式求解三角形的高（圓的半徑），利用三角形的年級得到，進而得到原的方程.

試題解析：

（1）設橢圓的方程為=1（a>b>0），由題意可得：

橢圓C兩焦點坐標分別為F1（-1；0），F2（1，0）.

所以2a=

所以a=2，又c=1，b2=4-1=3，

故橢圓的方程為.

（2）當直線l⊥x軸，計算得到：A（-l，-），B（-1， ），

，不符合題意.

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為：y=k（x+1），

由消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0,

顯然△>0成立，設A（x1,y1），B（x2,y2），

則x1+x2=，x1·x2=，

又|AB|=,

即|AB|=，

又圓F2的半徑r=，

所以，

化簡，得17k4+k2-18=0，

即（k2-1）（17k2+18）=0，解得k=±1，

所以，r=，故圓F2的方程為：（x-1）2+y2=2.