Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（I）設b_n=a_n+1-2a_n，證明數列{b_n}是等比數列；
（II）求證數列{

an

2n

}為等差數列
（Ⅲ）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，可得b₁=a₂-2a₁=3，又當n≥2時，有S_n=4a_n-1+2，與條件相減，即可證得{b_n}是以b₁=3為首項、以2為公比的等比數列；
（II）由（I）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，即可證明數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列；
（Ⅲ）由（II） 

an

2n

=

1

2

+(n-1)

3

4

=

3

4

n-

1

4

，即可求得數列{a_n}的通項公式．

解答：（I）證明：由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，
得 a₁+a₂=4a₁+2，a₂=3a₁+2=5，所以b₁=a₂-2a₁=3．
由 S_n+1=4a_n+2，①
則當n≥2時，有S_n=4a_n-1+2，②
②-①得a_n+1=4a_n-4a_n-1，所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1，所以{b_n}是以b₁=3為首項、以2為公比的等比數列．        …（6分）
（II）證明：由（I）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

．
所以 數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列．…（10分）
（Ⅲ）解：由（II） 

an

2n

=

1

2

+(n-1)

3

4

=

3

4

n-

1

4

，即an=(3n-1)•2n-2（n∈N^*）．…（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列與等差數列的證明，考查數列的通項，正確運用等差數列與等比數列的定義是關鍵．