Question

橢圓的一個焦點是F（1，0），已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知Q（x，y）為橢圓上任意一點，求以Q為切點，橢圓的切線方程．
（3）設點P為直線x=4上一動點，過P作橢圓兩條切線PA，PB，求證直線AB過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由題意可得，△EFG為邊長是，高為c=1的等邊三角形．利用三角函數知識得出，從而求得a值，最后寫出橢圓的標準方程；
（2）設以Q為切點的切線方程的斜率為k，再分類討論：
①若y＞0，設，利用導數的幾何求得切線的斜率進而得出切線方程；
②若y＜0，設，同理可得切線方程為；
③若y=0，則Q（2，0），切線方程為x=2，亦滿足，綜上所述，得出切線方程．
（3）設點P（4，t），切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（2）可知兩切線方程PA，PB的方程，同去利用P點在切線PA，PB上，得到為AB的直線方程，從而問題解決．
解答：解：（1）由題意可得，△EFG為邊長是，高為c=1的等邊三角形．
，故，而c=1，所以
橢圓的標準方程為（3分）
（2）設以Q為切點的切線方程的斜率為k，
①若y＞0，設，
則，
由于Q（x，y）在橢圓上，故，
即∴
此時切線方程為，整理得：
將代入，得（6分）
②若y＜0，設，
則，
由于Q（x，y）在橢圓上，故，
即∴
于是與①同理可得切線方程為（8分）
③若y=0，則Q（2，0），切線方程為x=2，亦滿足
綜上所述，切線方程為（9分）
（3）設點P（4，t），切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（2）可知兩切線方程PA，PB分別為，（11分）
P點在切線PA，PB上，故P（4，t）滿足，
得：，
故A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均滿足方程，
即為AB的直線方程．（13分）中，
令y=0，則x=1，故AB過定點（1，0），題得證．（14分）
點評：本題主要考查橢圓的簡單性質、直線與橢圓的位置關系，導數的幾何意義等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力．解題時要注意運算能力的培養．