Question

已知橢圓的方程為＝1(a＞b＞0)，A(0，b)、B(0，－b)和Q(a，0)為的三個頂點．

(1)若點M滿足，求點M的坐標；

(2)設直線l₁∶y＝k₁x＋p交橢圓于C、D兩點，交直線l₂∶y＝k₂x于點E．若k₁·k₂＝，證明：E為CD的中點；

(3)設點P在橢圓內且不在x軸上，如何構作過PQ中點F的直線l，使得l與橢圓的兩個交點P₁，P₂滿足？令a＝10，b＝5，點P的坐標是(－8，－1)．若橢圓上的點P₁，P₂滿足，求點P₁，P₂的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：． 　　(2)證：設，則由 　　 　　可得，又，故可得 　　而由題意知，所以，即 　　即線段的中點在直線上，也即直線與的交點為線段的中點． 　　(3)橢圓方程為，從而線段的中點為Q(1，－0.5)， 　　若，則為平行四邊形，從而線段與線段互相平分，故直線的斜率存在，可設為，直線為y＝k(x－1)－0.5． 　　設，則由 　　可得 　　可得 　　所以直線方程為．