Question

（本小題滿分13分）
如圖，已知橢圓的焦點為、，離心率為，過點的直線交橢圓于、兩點．

（1）求橢圓的方程；
（2）①求直線的斜率的取值范圍；
②在直線的斜率不斷變化過程中，探究和是否總相等？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：解：（1）由已知條件知，，得，又，
所以橢圓的方程為 …………4分
（2）直線的方程為，
聯立，得 ………6分
① 由于直線與橢圓相交，所以，
解得直線的斜率的取值范圍是 ………8分
②和總相等．證明：設，則
 …………9分
所以

 ………11分
所以 ………13分
點評：對于圓錐曲線的方程的求解，一般要通過其性質得到a,b,c的關系式，進而化簡運算得到結論，同時在研究直線與圓錐曲線的位置關系的時候，一般都是采用的設而不求的思想，結合韋達定理和判別式來進行，同時得到解決。對于角的相等問題，一般利用其斜率來說明即可。屬于中檔題。