Question

【題目】對(duì)于定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，若滿足① ；② 當(dāng)，且時(shí)，都有；③ 當(dāng)，且時(shí)，都有，則稱為“偏對(duì)稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：①；② ； ③；④.則其中是“偏對(duì)稱函數(shù)”的函數(shù)序號(hào)為 _______．

Answer 1

【答案】①④.

【解析】分析：條件②等價(jià)于f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，條件③等價(jià)于f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，依次判斷各函數(shù)是否滿足條件即可得出結(jié)論．

詳解：由②可知當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上單調(diào)遞減，不滿足條件②，

∴f2（x）不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；

又（）=（）=0，∴（x）在（0，+∞）上不單調(diào)，故（x）不滿足條件②，

∴（x）不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；

又f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上單調(diào)遞減，不滿足條件②，

∴f2（x）不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；

由③可知當(dāng)x1＜0時(shí)，f（x1）＜f（﹣x2），即f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，

對(duì)于（x），當(dāng)x＜0時(shí)，（x）﹣（﹣x）=﹣x﹣e﹣x+1，

令h（x）=﹣x﹣e﹣x+1，則h′（x）=﹣1+e﹣x＞0，

∴h（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，故h（x）＜h（0）=0，滿足條件③，

由基本初等函數(shù)的性質(zhì)可知（x）滿足條件①，②，

∴（x）為“偏對(duì)稱函數(shù)”；

對(duì)于f4（x），f4′（x）=2e2x﹣ex﹣1=2（ex﹣）2﹣，

∴當(dāng)x＜0時(shí)，0＜ex＜1，∴f4′（x）＜2（1﹣）2﹣=0，

當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞1，∴f4′（x）＞2（1﹣）2﹣=0，

∴f4（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，滿足條件②，

當(dāng)x＜0，令m（x）=f4（x）﹣f4（﹣x）=e2x﹣e﹣2x+e﹣x﹣ex﹣2x，

則m′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣e﹣x﹣ex﹣2=2（e2x+e﹣2x）﹣（e﹣x+ex）﹣2，

令e﹣x+ex=t，則t≥2，于是m′（x）=2t2﹣t﹣6=2（t﹣）2﹣≥2（2﹣）2﹣=0，

∴m（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，

∴m（x）＜m（0）=0，故f4（x）滿足條件③，

又f4（0）=0，即f4（x）滿足條件①，

∴f4（x）為“偏對(duì)稱函數(shù)”．

故答案為：①④．