Question

已知函數f（x）=x³-x，其圖象記為C，若對于任意非零實數x₁，曲線C與其在點P₁（x₁，f（x₁））處的切線交于另一點P₂（x₂，f（x₂）），曲線C與其在點P₂（x₂，f（x₂））處的切線交于另一點P₃（x₃，f（x₃）），線段P₁P₂，P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S₁，S₂，求證：

S1

S2

為定值．

Answer 1

分析：求導數可得切線的方程，由題意可得x₂=-2x₁，同理x₃=-2x₂，由定積分的意義可得S₁和S₂，求比值可得．

解答：解：∵f′（x）=3x²-1，
∴函數f（x）=x³-x圖象在點P₁（x₁，f（x₁））處的切線方程為y-（x13-x1）=（3x12-1）（x-x₁），即y=（3x12-1）x-2x13
把上式和y=x³-x聯立方程組消y得關于x的方程(x-x1)2(x+2x1)=0，
解之得x=x₁或x=-2x₁，于是x₂=-2x₁，同理x₃=-2x₂．
由題意S₁=|

∫

x2 x1

[(3x12-1)x-2x13-(x3-x)]dx|
=|

∫

x2 x1

(3x12x-2x13-x3)dx|=

27

4

x14，
同理可得S₂=

27

4

x24．再考慮到x₂=-2x₁≠0，
所以

S1

S2

=

1

16

，即

S1

S2

為定值．

點評：本題考查定積分的運算，涉及導數的運算，涉及解方程組的技巧，屬中檔題．