Question

（2013•資陽二模）如圖，在平面斜坐標系xOy中，∠xOy=θ，平面上任意一點P關于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若

OP

=

xe1

+

ye2

（其中

e1

，

e2

分別是x軸，y軸同方向的單位向量），則P點的斜坐標為（x，y），向量

OP

的斜坐標為（x，y）．給出以下結論：
①若θ=60⁰，P（2，-1），則|

OP

|=

3

；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂）；
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），則

OP

-

OQ

=x₁x₂+y₁y₂；
④若θ=60⁰，以O為圓心，1為半徑的圓的斜坐標方程為x²+y²+xy-1=0．
其中所有正確的結論的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①由θ=60⁰，P（2，-1），利用數量積得性質可得|

OP

|=

(2 e1 - e2 )2

=

4 e1 2+ e2 2-4 e1 • e2

=

4+1-4cos60°

即可得出；
②由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用謝坐標系的定義可得

OP

=(x1，y1)，

OQ

=(x2，y2)，可得

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），故正確；
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），則

OP

-

OQ

=（x₁-x₂，y₁-y₂），即可判斷出；
④若θ=60⁰，以O為圓心，1為半徑的圓滿足|

OP

|=1，設P（x，y），則

(x e1 +y e2

)2=1，化為x²+y²+2xycos60°=1，即可判斷出．

解答：解：①∵θ=60⁰，P（2，-1），則|

OP

|=

(2 e1 - e2 )2

=

4 e1 2+ e2 2-4 e1 • e2

=

4+1-4cos60°

=

3

，故正確；
②∵P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴

OP

=(x1，y1)，

OQ

=(x2，y2)，∴

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），故正確；
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），則

OP

-

OQ

=（x₁-x₂，y₁-y₂），故不正確；
④若θ=60⁰，以O為圓心，1為半徑的圓滿足|

OP

|=1，設P（x，y），則

(x e1 +y e2

)2=1，化為x²+y²+2xycos60°=1，化為x²+y²+xy-1=0．
故滿足條件的圓的斜坐標方程為x²+y²+xy-1=0．正確．
綜上可知：只有①②④正確．

點評：正確理解斜坐標系定義和掌握數量積得運算公式是解題的關鍵．