Question

【題目】已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均是邊長為2的等邊三角形，△ABC是腰長為3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.

(1)試在平面BCD內作一條直線，使得直線上任意一點F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出證明；

(2)求三棱錐E－ABC的體積.

Answer 1

【答案】（1）取DC的中點N，取BD的中點M，連接MN，則MN即為所求，證明見解析（2）

【解析】

（1）取DC的中點N，取BD的中點M，連接MN，則MN即為所求，證明EN∥AH，MN∥BC可得平面EMN∥平面ABC即可（2）因為點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等，求三棱錐E－ABC的體積可轉化為求三棱錐N－ABC的體積，根據體積公式計算即可.

(1)如圖所示，取DC的中點N，取BD的中點M，連接MN，則MN即為所求.

證明：連接EM，EN，取BC的中點H，連接AH，

∵△ABC是腰長為3的等腰三角形，H為BC的中點，

∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH平面ABC，

∴AH⊥平面BCD，同理可證EN⊥平面BCD，

∴EN∥AH，

∵EN平面ABC，AH平面ABC，

∴EN∥平面ABC.

又M，N分別為BD，DC的中點，

∴MN∥BC，

∵MN平面ABC，BC平面ABC，

∴MN∥平面ABC.

又MN∩EN＝N，MN平面EMN，EN平面EMN，

∴平面EMN∥平面ABC，

又EF平面EMN，

∴EF∥平面ABC，

即直線MN上任意一點F與E的連線EF均與平面ABC平行.

(2)連接DH，取CH的中點G，連接NG，則NG∥DH，

由(1)可知EN∥平面ABC，

∴點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等，

又△BCD是邊長為2的等邊三角形，

∴DH⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH平面BCD，

∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，

易知DH＝，∴NG＝，

又S△ABC＝·BC·AH＝×2×＝2，

∴VE－ABC＝·S△ABC·NG＝.