Question

【題目】如圖，設點是拋物線的焦點，直線與拋物線相切于點（點位于第一象限），并與拋物線的準線相交于點．過點且與直線垂直的直線交拋物線于另一點，交軸于點，連結．

（1）證明：為等腰三角形；

（2）求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4

【解析】

（1）利用導數求出點P處的切線方程，由垂直關系寫出法線方程，得到點Q坐標，由拋物線定義得到；

（2）先求出點A，B的坐標，再求與的表達式，利用直角三角形得到面積的函數關系，再求最大值．

（1）設點P的坐標為且，

因為直線l與拋物線C相切，求導得，即，

所以直線l的方程為：，

得直線m的方程為：，即，

因為，即，

而，

所以得，即為等腰三角形．

（或者求出切線與y軸的交點，可證點F為直角三角形斜邊的中點，同樣可證）

（2）因為拋物線C的準線為，得，

所以，

聯立方程組，得，

因為，，即，

所以，

得面積為，

當且僅當時，取到最小值4．