Question

【題目】f（x）是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]D，使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數(shù)f（x） 是k型函數(shù)．給出下列說法：
①f（x）=3﹣ 不可能是k型函數(shù)；
②若函數(shù)y=﹣ x2+x是3型函數(shù)，則m=﹣4，n=0；
③設函數(shù)f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函數(shù)，則k的最小值為 ；
④若函數(shù)y= （a≠0）是1型函數(shù)，則n﹣m的最大值為 ．
下列選項正確的是（ ）
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：對于①，f（x）的定義域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣ =1，f（4）=3﹣ =2，
∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是 型函數(shù)，
∴①錯誤；
對于②，y=﹣ x2+x是3型函數(shù)，即﹣ x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，
∴②正確；
對于③，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函數(shù)，則x3+2x2+x=kx有二不等負實數(shù)根，
即x2+2x+（1﹣k）=0有二不等負實數(shù)根，
∴ ，解得0＜k＜1，
∴③錯誤；
對于④，y= （a≠0）是1型函數(shù)，即（a2+a）x﹣1=a2x2 ， ∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，
∴方程的兩根之差x1﹣x2= = =
= ≤ ，即n﹣m的最大值為 ，∴④正確．
綜上，正確的命題是②④．
故選：C．
根據(jù)題目中的新定義，結合函數(shù)與方程的知識，逐一判定命題①②③④是否正確，從而確定正確的答案．