Question

已知函數f(x)=ex-

1

ex

，g(x)=ex+

1

ex

，動直線x=t分別與函數y=f（x）、y=g（x）的圖象分別交于點A（t，f（t））、B（t，g（t）），在點A處作函數y=f（x）的圖象的切線，記為直線l₁，在點B處作函數y=g（x）的圖象的切線，記為直線l₂．
（Ⅰ）證明：不論t取何實數值，直線l₁與l₂恒相交；
（Ⅱ）若直線l₁與l₂相交于點P，試求點P到直線AB的距離；
（Ⅲ）當t＜0時，試討論△PAB何時為銳角三角形？直角三角形？鈍角三角形？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出兩個函數的導數，即得切線的斜率，令這兩條切線的斜率相等，此方程無解，故這兩條切線的斜率一定不相等，得到直線l₁與l₂恒相交．
（Ⅱ）用點斜式求得直線l₁和直線l₂的方程，求得交點P的橫坐標滿足x-t=1，又直線AB方程為x=t，直線AB垂直x軸，
故點P到直線AB的距離為 1．
（Ⅲ）利用兩個向量的數量積的定義、數量積公式可得∠B恒為銳角，且∠A恒為銳角，令

PA

•

PB

 分別小于0、等于
0、小于0，求出對應的t值，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=ex+

1

ex

=g(x)，g′(x)=ex-

1

ex

=f(x)，
∴直線l₁的斜率k1=f′(t)=et+

1

et

，直線l₂的斜率k2=g′(t)=et-

1

et

，
令k₁=k₂，得

2

et

=0，此方程沒有實數解，∴不論t取何實數值，直線l₁與l₂恒相交．
（Ⅱ）直線l₁的方程為：y=f（t）+g（t）（x-t），…①
直線l₂的方程為：y=g（t）+f（t）（x-t），…②
由①、②得：（g（t）-f（t））（x-t-1）=0．
∵g(t)-f(t)=

2

et

＞0，∴x-t=1，又∵直線AB方程為x=t，直線AB垂直x軸，∴點P到直線AB的距離為1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得P（t+1，2e^t），
①∵

BP

=(1，et-

1

et

)，

BA

=(0，-

2

et

)，
∴

BP

•

BA

=-

2

et

(et-

1

et

)=-

2

et

e2t-1

et

，
∵t＜0，e^2t＜1，∴

BP

•

BA

=-

2

et

(et-

1

et

)=-

2

et

e2t-1

et

＞0，
又∵

BP

•

BA

=|

BP

||

BA

|cos∠B，
∴cos∠B＞0，∠B恒為銳角．
②∵

AP

=(1，et+

1

et

)，

AB

=(0，

2

et

)，
∴

AP

•

AB

=

2

et

(et+

1

et

)＞0，
∴不論t取何值，∠A恒為銳角．
③∵

PA

=(-1，-et-

1

et

)，

PB

=(-1，-et+

1

et

)，∴

PA

•

PB

=1+e2t-

1

e2t

．
令

PA

•

PB

=1+e2t-

1

e2t

＞0，得（e^2t）²+e^2t-1＞0，(e2t-

-1- 5

2

)(e2t-

-1+ 5

2

)＞0，
e2t-

-1+ 5

2

＞0，

1

2

ln

-1+ 5

2

＜t＜0．
又∵

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠P，∴cos∠P＞0，∠P為銳角．
令

PA

•

PB

=1+e2t-

1

e2t

=0，得e2t-

-1+ 5

2

=0，t=

1

2

ln

-1+ 5

2

＜0，
此時，cos∠P=0，∠P為直角；
令

PA

•

PB

=1+e2t-

1

e2t

＜0，得（e^2t）²+e^2t-1＜0，(e2t-

-1- 5

2

)(e2t-

-1+ 5

2

)＜0，
 e2t-

-1+ 5

2

＜0，t＜

1

2

ln

-1+ 5

2

，此時，cos∠P＜0，∠P為鈍角．
綜合①②③得：當t＜

1

2

ln

-1+ 5

2

時，△PAB為鈍角三角形；
當t=

1

2

ln

-1+ 5

2

時，△PAB為直角三角形；
當

1

2

ln

-1+ 5

2

＜t＜0時，△PAB為銳角三角形．

點評：本題考查導數的幾何意義，點到直線的距離公式，兩個向量的數量積的定義，數量積公式，三角形形狀的判定，體現了分類討論的數學思想．