Question

已知函數y=f(x)的定義域為R，對任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且對任意x＞0,都有f(x)＜0,f(3)=-3.

(1)試證明函數y=f(x)是R上的單調減函數；

(2)試證明函數y=f(x)是奇函數；

(3)試求函數y=f(x)在［m,n］(m、n∈Z,且mn＜0)上的值域.

Answer 1

剖析:(1)可根據函數單調性的定義進行論證，考慮證明過程中如何利用題設條件.

    (2)可根據函數奇偶性的定義進行證明，應由條件先得到f(0)=0后，再利用條件f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)中x₁、x₂的任意性，可使結論得證.

    (3)由(1）的結論可知f(m)、f(n)分別是函數y=f(x)在［m、n］上的最大值與最小值，故求出f(m)與f(n)就可得所求值域.

(1)證明:任取x₁、x₂∈R,且x₁＜x₂,f(x₂)=f［x₁+(x₂-x₁)］,

    于是由題設條件f(x+x′)=f(x)+f(x′)可知f(x₂)=f(x₁)+f(x₂-x₁).

    ∵x₂＞x₁,

    ∴x₂-x₁＞0.

    ∴f(x₂-x₁)＜0.

    ∴f(x₂)=f(x₁)+f(x₂-x₁)＜f(x₁).

    故函數y=f(x)是單調減函數.

(2)證明:∵對任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),

    ∴若令x=x′=0,則f(0)=f(0)+f(0).

    ∴f(0)=0.

    再令x′=-x,

    則可得f(0)=f(x)+f(-x).

    ∵f(0)=0,

    ∴f(-x)=-f(x).

    故y=f(x)是奇函數.

(3)解:由函數y=f(x)是R上的單調減函數,

    ∴y=f(x)在［m,n］上也為單調減函數.

    ∴y=f(x)在［m,n］上的最大值為f(m),最小值為f(n).

    ∴f(n)=f［1+(n-1)］=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)=…=nf(1).

    同理，f(m)=mf(1).

    ∵f(3)=-3,

    ∴f(3)=3f(1)=-3.

    ∴f(1)=-1.

    ∴f(m)=-m,f(n)=-n.

    因此，函數y=f(x)在［m,n］上的值域為［-n,-m］.

講評:(1)滿足題設條件f(x+x′)=f(x)+f(x′)的函數,只要其定義域是關于原點對稱的，它就為奇函數.

    (2)若將題設條件中的x＞0，均有f(x)＜0改成均有f(x)＞0,則函數f(x)就是R上的單調增函數.

    (3)若題設條件中的m、n∈Z去掉，則我們就無法求出f(m)與f(n)的值，故m、n∈Z不可少.